Ympyrä sulkeutuu

31.3.2020 klo 12.17, kirjoittaja
Kategoriat: Kosmokseen kirjoitettua

Edellisessä merkinnässä mainitsin tekstistäni, joka käsitteli kauneuden eri ilmenemismuotoja fysiikassa: ilmiöiden kauneutta, tarinoiden kauneutta ja sääntöjen kauneutta. (Aiemmin aiheesta täällä, täällä ja täällä.)

Käsittelemättä jäi eräs seikka, jota joskus kysytään: miksi fysiikan lait tuntuvat kauniilta? Tähän on vähintään yhtä vaikea vastata kuin siihen, miksi maalaukset näyttävät kauniilta, mutta yritän hahmotella yhtä puolta asiasta.

Miksi mitään ylipäänsä pidetään kauniina? Aivomme ovat evoluution myötä kehittyneet merkitsemään tietyt aistimukset miellyttäviksi ja toiset epämiellyttäviksi. Vahvimmat tällaiset leimat annetaan tuntoaistimuksille, mutta ne rajoittuvat yleensä välittömiin kokemuksiin.

Sen sijaan tiettyjen asioiden näkemisen aiheuttama mielihyvä yleistyy hetken tuntemusta kauemmas. Koska näkö on ihmisen merkittävin aisti, hahmotamme esimerkiksi esineiden muotoja ennemmin näkemisen kuin tuntemisen kautta. Näkymiin ja muotoihin liittyvät mielihyvän tunteet yhdistyvät niitä kuvaavan säännönmukaisuuden myötä abstraktimpiin käsitteisiin.

Esimerkiksi ympyrä on kaunis muoto. Ympyrä on kiertosymmetrian ilmentymä: se säilyy samana keskipisteen ympäri kierrettäessä. Niinpä silmin havaittavaan muotoon liittyy avaruutta koskeva muutos. Näön kautta koettu kauneus tarttuu kierron käsitteeseen, joka on konkreettista muotoa yleisempi. Kiertosymmetria perii kauneuden yhdeltä ilmentymältään, ympyrältä.

Olen aiemmin maininnut siirtymän Nikolaus Kopernikuksen ympyräradoista Isaac Newtonin kiertosymmetriseen painovoimalakiin esimerkkinä kehityksestä ilmiöiden kauneudesta lakien kauneuteen. Newtonin gravitaatiolain mukaiset radat eivät kaikki ole kiertosymmetrisiä (planeettojen radat ovat ellipsejä, eivät ympyröitä), mutta sen sijaan gravitaatiolaki on samanlainen joka suunnassa.

Newtonin gravitaatiolaissakin on vielä kyse avaruuden kierroista. Kiertojen kauneus vie kuitenkin avaruutta pidemmälle. Sähkömagnetismin kaunis teoria perustuu siihen, että kaikki säilyy samana, kun fotoneita ja varattuja hiukkasia kuvaavia kenttiä muutetaan tavalla, joka on matemaattisesti samanlainen kuin avaruuden kierto.

Olemme siis lähteneet liikkeelle konkreettisesta ympyrästä, siirtäneet sen kauneuden avaruuden kiertoihin ja päätyneet hahmottamaan ainetta ja valoa kuvaavien kenttien lakeja tämän avaruudesta tutun käsitteen avulla. Ympyrä sulkeutuu, kun ymmärrämme, että maailman ilmiöiden muodot ovat taasen seurausta näistä kenttiä koskevista laeista.

Koska ajattelumme on kehittynyt mallintamaan karkeaa ilmiöiden maailmaa, lähestymme hienoja lakeja niiden karkeista ilmentymistä yleistetyillä käsitteillä.

Monet fysiikan lakien symmetrioista ovat kauempana välittömistä havainnoista kuin kiertosymmetria, ja on paljon kauneutta, jolla ei ole vastinetta havaittavissa muodoissa. Mutta niidenkin matemaattisten rakenteiden ymmärtämiseen käytetään silmillä nähtävien muotojen hahmottamisessa harjaantuneita nystyröitä.

Konkreettisten esineiden käsittelemiseen kehittyneen ajatuskoneistomme valjastamista matemaattisten rakenteiden ymmärtämiseen kutsutaan geometriseksi lähestymistavaksi. Siinä etusijalla ovat tilaan ja kuvalliseen ajatteluun liittyvät käsitteet kuten muodot, koot, suunnat ja etäisyydet. Se täydentää algebralliseksi lähestymistavaksi kutsuttua mallintamista, missä käytetään tinkimättömiä yhtälöitä.

Helposti hahmotettava esimerkki geometrian ja algebran yhteydestä on Metta Savolaisen kuvateos, jonka muodoista ja pinta-aloista voi lukea Pythagoraan lauseen z2=x2+y2 todistuksen. Kuva ja yhtälö yhdessä ovat otos geometrian ja algebran välisestä sanakirjasta. Yhtälö z2=x2+y2 kuvaa myös ympyrää, jonka säde on z, joten se havainnollistaa myös sitä, miten yhtälöt liittävät erilaisia muotoja toisiinsa.

11 kommenttia “Ympyrä sulkeutuu”

  1. Cargo sanoo:

    ”Yhtälö z^2=x^2+y^2 kuvaa myös ympyrää, jonka säde on z, joten se havainnollistaa myös sitä, miten yhtälöt liittävät erilaisia muotoja toisiinsa.”

    En halua saivarrella, mutta ihan samasta muodosta on kyse: etäisyys karteesisessa (x,y)-tasossa vs. hypotenuusan pituus suorakulmaisten sivujen/kantojen suhteen. Mutta joo, tuo Pythagoraan lause on tavattoman keskeinen tulos sekä matematiikassa että fysiikassa: kvanttimekaniikka pyörii Fourier-analyysin ympärillä, jossa Pythagoraan lause ilmenee ortogonaalisten ominaisfunktioiden ja projektioiden kautta; erityisessä suhteellisuusteoriassa Pythagoraan lause johtaa Lorenzin muunnokseen, sekä sen avulla voi yhdistää kappaleen energia, liikemäärä ja massa; yleinen suhteellisuusteoria soveltaa Gaussin koordinaatistoa, jossa Pythagoraan lause ilmenee etäisyytenä pitkin kaarevaa pintaa sopivien komponenttien avulla.

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      En kommentoi tähän muuta kuin sen, että ympyrä ja kolmio ovat eri muotoja.

      1. Cargo sanoo:

        No joo 🙂 pääsi tulemaan ajatuskatko, kun aloin pohtimaan yksikköympyrän siniä ja kosinia.

    2. TimoK sanoo:

      Minustakin tuo Pythagoran lause edustaa juuri yksinkertaisuutensa takia tietynlaista kauneutta, varsinkin kun sen avulla voidaan päästä varsin mullistaviinkin tuloksiin – esimerkiksi siihen Lorenzin kertoimeen, yhteen suhteellisuusteorian kulmakivistä.

  2. Erkki Kolehmainen sanoo:

    Uskaltaudun tänne taas kommentoimaan silläkin uhalla, että lento- tai joku muu nimimerkin taakse piiloutuva taidoton esittää arvionsa älystäni ja tiedoistani. Geosentrisessä maailmankuvassa maa oli kaiken keskispiste, jota aurinko, kuu ja planeetat kiersivät ”kauniita” ympyräratoja. Tähän kauneuteen tuli kuitenkin särö, kun planeettojen liike ei noudattanutkaan tarkasti esitettyä mallia. Niinpä planeettojen ympyräratoihin lisättiin ”kaunis” ympyränmuotoinen episykli, jolla asiaa yritettiin korjata. Näin yksinkertainen episyklimalli ei kuitenkaan riittänyt kaikkien planeettojen liikkeiden hienouksien selittämiseen, vaan alkuperäiselle episyklille jouduttiin lisäämään pienempiä episyklejä, ja lopulta Ptolemaioksen lopullinen malli sisälsi 80 episykliä. Vasta kun ”kauneuden” vaatimuksesta tingittiin ja planeettojen radat korvattiin vähemmän kaunilla ellipseillä päästiin eteenpäin.

    Kuten kirjoitin aiemmin, kauneus on katsojan silmässä ja sen vuoksi kauneus ei mielestäni sovi kovin hyvin fysiikan luonnehtimiseen, vaikka matematiikan sopisikin. Mitä taas tulee kuvataiteisiin arvostan suuresti surrealisteja kuten Salvador Dalía ja René Magrittea. En esteettisten seikkojen vuoksi vaan siksi, että heidän töissään on yllätyksellisyyttä, mikä pistää ajattelemaan. Tukholman modernissa museossa on Dalin L’enigme de Guillaume Tell (v. 1933). Se antaa uuden perspektiivin Wilhelm Tellin sankarimyyttiin.

    1. Cargo sanoo:

      Antiikin aikana rationaalilukuja pidettiin ”klassisina” ja niiden avulla pyrittiin selittämään yhtä jos toista vallitsevasta maailmasta. Irrationaalilukuja taas pidettiin järjettöminä, mutta toisaalta niitä voitiin ymmärtää säännöllisten rationaalilukujen avulla, mitä taas voidaa pitää omalla tavallaan kauniina teoriana.

      Ptolemaioksen episykliteoria oli siinä mielessä kaunis, että ihminen saattoi visualisoida koko prosessin säännöllisellä sekä klassisella tavalla – ja saada oikeita vastauksia. Vasta jälkeenpäin on käynyt selväksi, että episykliteorian visuaalinen kuvaus on väärä. Modernin ajan episykliteoria lienee Feynmanin polkuintegraaliformalismi, joka kuvaa kvanttiprosessia säännöllisellä sekä klassisella tavalla, mutta ei ole mitään syytä olettaa, että kvanttihiukkaset tosiasiallisesti kulkisivat paikasta toiseen kaikkia erilaisia ratoja pitkin yhtä aikaa, eli kyseessä on vain visuaalisesti kaunis matemaattinen resepti.

  3. Erkki Kolehmainen sanoo:

    ”…mutta ei ole mitään syytä olettaa, että kvanttihiukkaset tosiasiallisesti kulkisivat paikasta toiseen kaikkia erilaisia ratoja pitkin yhtä aikaa, eli kyseessä on vain visuaalisesti kaunis matemaattinen resepti.”

    Tästä olen täysin samaa mieltä. Matematiikassa on muitakin visuaalisesti kauniita reseptejä, joilla ei välttämättä ole mitään yhteyttä todellisuuteen.

  4. Lentotaidoton sanoo:

    Jospa sitten vähän kehuttaisiin Erkki Kolehmaista: ”Mitä taas tulee kuvataiteisiin arvostan suuresti surrealisteja kuten Salvador Dalía ja René Magrittea. En esteettisten seikkojen vuoksi vaan siksi, että heidän töissään on yllätyksellisyyttä, mikä pistää ajattelemaan”.

    Tätähän kaikki tosi suuret mullistukset luonnontieteiden historiassa myös todistavat – ne ovat aina tulleet suurina yllätyksinä ei ainoastaan suurelle yleisölle vaan myös useille fyysikoille/tiedemiehille itselleenkin (vaikka niissä asiantuntijat pystyvätkin jälkeenpäin näkemään selvän edeltävän ”ilmassa roikkumisen”).

    Räsänen: ”Koska ajattelumme on kehittynyt mallintamaan karkeaa ilmiöiden maailmaa, lähestymme hienoja lakeja niiden karkeista ilmentymistä yleistetyillä käsitteillä”. Näiden karkeistettujen käsitysten takana oleva entistä tarkempi selitys on aina tullut useimmille yllätyksenä. Mutta yhtä lailla tämä historiallinen tosiseikka on poikinut myös paljon polkuja, jotka ovat joko vieneet umpikujaan tai jotka on aikojen kuluessa ignoteerattu kuolleiksi. Kaikki ”hullut” ajatukset eivät toki ole ”totta”.

    Myös minä olen aina ollut surrealistien suuri ihailija. Samalla tavoin voi kysyä: mitä ”kuvaa” Sibeliuksen viides tai Tsaikowskin kuudes? Ovatko ne ”kauniita”? Ovatko ne ”totta”? Kysymykset ovat mielettömiä. Jokainen vastaa kysymyksiin omalla tavallaan. Tietysti voi lausahdella yleisiä käsityksiä: Sibeliuksen viides oli riemusoittoa syövästä selviämisestä, Tsaikowskin kuudes (Патетическая) taas kaikkinensa tietoinen hyväksijättö traagiselle elämälle – kuoli itsemurhaan 9 päivää ensiesityksen jälkeen). Taide ja tiede kaikkinensa ovat tukena mielekkääseen elämään ja ymmärtämiseen.

    1. Erkki Kolehmainen sanoo:

      Kiitos. Jos löytää uuden polun, niin ei kannata kääntyä heti takaisin, vaikka maasto muuttuisikin haastavaksi. Polun päässä voi olla umpikuja tai nabatealaisten Petra, joka saa silmät revähtämään hämmästyksestä.

  5. Jyri T. sanoo:

    ”Antiikin aikana … Irrationaalilukuja taas pidettiin järjettöminä…”

    Tuskin antiikin aikana pohdittiin irrationaalisia lukuja. Tarkoittanet reaalilukuja tms.

    ”…ei ole mitään syytä olettaa, että kvanttihiukkaset tosiasiallisesti kulkisivat paikasta toiseen kaikkia erilaisia ratoja pitkin yhtä aikaa, eli kyseessä on vain visuaalisesti kaunis matemaattinen resepti.”

    Kun kerran hiukkanen on kentässä liikkuva aalto, se leviää laajalle alalle. Siinä mielessä tuo Feynmannin malli on looginen. Ei siellä ainakaan mitään pieniä pingispalloja viuhu edestakaisin.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *