Ympyrä sulkeutuu
Edellisessä merkinnässä mainitsin tekstistäni, joka käsitteli kauneuden eri ilmenemismuotoja fysiikassa: ilmiöiden kauneutta, tarinoiden kauneutta ja sääntöjen kauneutta. (Aiemmin aiheesta täällä, täällä ja täällä.)
Käsittelemättä jäi eräs seikka, jota joskus kysytään: miksi fysiikan lait tuntuvat kauniilta? Tähän on vähintään yhtä vaikea vastata kuin siihen, miksi maalaukset näyttävät kauniilta, mutta yritän hahmotella yhtä puolta asiasta.
Miksi mitään ylipäänsä pidetään kauniina? Aivomme ovat evoluution myötä kehittyneet merkitsemään tietyt aistimukset miellyttäviksi ja toiset epämiellyttäviksi. Vahvimmat tällaiset leimat annetaan tuntoaistimuksille, mutta ne rajoittuvat yleensä välittömiin kokemuksiin.
Sen sijaan tiettyjen asioiden näkemisen aiheuttama mielihyvä yleistyy hetken tuntemusta kauemmas. Koska näkö on ihmisen merkittävin aisti, hahmotamme esimerkiksi esineiden muotoja ennemmin näkemisen kuin tuntemisen kautta. Näkymiin ja muotoihin liittyvät mielihyvän tunteet yhdistyvät niitä kuvaavan säännönmukaisuuden myötä abstraktimpiin käsitteisiin.
Esimerkiksi ympyrä on kaunis muoto. Ympyrä on kiertosymmetrian ilmentymä: se säilyy samana keskipisteen ympäri kierrettäessä. Niinpä silmin havaittavaan muotoon liittyy avaruutta koskeva muutos. Näön kautta koettu kauneus tarttuu kierron käsitteeseen, joka on konkreettista muotoa yleisempi. Kiertosymmetria perii kauneuden yhdeltä ilmentymältään, ympyrältä.
Olen aiemmin maininnut siirtymän Nikolaus Kopernikuksen ympyräradoista Isaac Newtonin kiertosymmetriseen painovoimalakiin esimerkkinä kehityksestä ilmiöiden kauneudesta lakien kauneuteen. Newtonin gravitaatiolain mukaiset radat eivät kaikki ole kiertosymmetrisiä (planeettojen radat ovat ellipsejä, eivät ympyröitä), mutta sen sijaan gravitaatiolaki on samanlainen joka suunnassa.
Newtonin gravitaatiolaissakin on vielä kyse avaruuden kierroista. Kiertojen kauneus vie kuitenkin avaruutta pidemmälle. Sähkömagnetismin kaunis teoria perustuu siihen, että kaikki säilyy samana, kun fotoneita ja varattuja hiukkasia kuvaavia kenttiä muutetaan tavalla, joka on matemaattisesti samanlainen kuin avaruuden kierto.
Olemme siis lähteneet liikkeelle konkreettisesta ympyrästä, siirtäneet sen kauneuden avaruuden kiertoihin ja päätyneet hahmottamaan ainetta ja valoa kuvaavien kenttien lakeja tämän avaruudesta tutun käsitteen avulla. Ympyrä sulkeutuu, kun ymmärrämme, että maailman ilmiöiden muodot ovat taasen seurausta näistä kenttiä koskevista laeista.
Koska ajattelumme on kehittynyt mallintamaan karkeaa ilmiöiden maailmaa, lähestymme hienoja lakeja niiden karkeista ilmentymistä yleistetyillä käsitteillä.
Monet fysiikan lakien symmetrioista ovat kauempana välittömistä havainnoista kuin kiertosymmetria, ja on paljon kauneutta, jolla ei ole vastinetta havaittavissa muodoissa. Mutta niidenkin matemaattisten rakenteiden ymmärtämiseen käytetään silmillä nähtävien muotojen hahmottamisessa harjaantuneita nystyröitä.
Konkreettisten esineiden käsittelemiseen kehittyneen ajatuskoneistomme valjastamista matemaattisten rakenteiden ymmärtämiseen kutsutaan geometriseksi lähestymistavaksi. Siinä etusijalla ovat tilaan ja kuvalliseen ajatteluun liittyvät käsitteet kuten muodot, koot, suunnat ja etäisyydet. Se täydentää algebralliseksi lähestymistavaksi kutsuttua mallintamista, missä käytetään tinkimättömiä yhtälöitä.
Helposti hahmotettava esimerkki geometrian ja algebran yhteydestä on Metta Savolaisen kuvateos, jonka muodoista ja pinta-aloista voi lukea Pythagoraan lauseen z2=x2+y2 todistuksen. Kuva ja yhtälö yhdessä ovat otos geometrian ja algebran välisestä sanakirjasta. Yhtälö z2=x2+y2 kuvaa myös ympyrää, jonka säde on z, joten se havainnollistaa myös sitä, miten yhtälöt liittävät erilaisia muotoja toisiinsa.
”Yhtälö z^2=x^2+y^2 kuvaa myös ympyrää, jonka säde on z, joten se havainnollistaa myös sitä, miten yhtälöt liittävät erilaisia muotoja toisiinsa.”
En halua saivarrella, mutta ihan samasta muodosta on kyse: etäisyys karteesisessa (x,y)-tasossa vs. hypotenuusan pituus suorakulmaisten sivujen/kantojen suhteen. Mutta joo, tuo Pythagoraan lause on tavattoman keskeinen tulos sekä matematiikassa että fysiikassa: kvanttimekaniikka pyörii Fourier-analyysin ympärillä, jossa Pythagoraan lause ilmenee ortogonaalisten ominaisfunktioiden ja projektioiden kautta; erityisessä suhteellisuusteoriassa Pythagoraan lause johtaa Lorenzin muunnokseen, sekä sen avulla voi yhdistää kappaleen energia, liikemäärä ja massa; yleinen suhteellisuusteoria soveltaa Gaussin koordinaatistoa, jossa Pythagoraan lause ilmenee etäisyytenä pitkin kaarevaa pintaa sopivien komponenttien avulla.
En kommentoi tähän muuta kuin sen, että ympynä ja kolmio ovat eri muotoja.