Muotoja ilman mittanauhaa

16.4.2018 klo 23.02, kirjoittaja
Kategoriat: Kosmokseen kirjoitettua , Kosmologia

Aika-avaruuden kaarevuutta selittävän blogimerkinnän kommenteissa kysyttiin aika-avaruuden topologiasta, joten avaan tässä aihetta hieman.

Karkeasti sanottuna kappaleen (tai avaruuden) muodon sellaiset piirteet, jotka liittyvät etäisyyksiin, ovat geometrisia. Sellaiset piirteet, jotka pysyvät samana, kun etäisyyksiä muutetaan, ovat topologisia.

Esimerkiksi neliön ja ympyrän ero on geometrinen. Ympyrä on joukko pisteitä, jotka ovat kaikki yhtä kaukana keskipisteestä. Neliön tapauksessa pisteiden etäisyys keskipisteestä muuttuu sitä ympäri kuljettaessa. Etäisyyksiä venyttämällä ja kutistamalla saa ympyrän ja neliön muutettua toisikseen; asiaa voi havainnollistaa ajattelemalla ympyrän kaarta kuminauhana: etäisyyksien muuttaminen vastaa nauhan venyttämistä tai supistamista.

Mutta se, että nauha sulkee sisäänsä tasan yhden yhtenäisen alueen ei muutu, muuttipa etäisyyksiä miten hyvänsä. Ympyrän tämä ominaisuus on siis topologinen.

Ympyrä on yksiulotteinen kappale. Kosmologiassa keskeistä on se, millainen on maailmankaikkeutemme kolmiulotteisen avaruuden topologia.

Yleinen suhteellisuusteoria on teoria geometriasta. Se kertoo, miten aika-avaruuden kaarevuus (eli geometria) kehittyy, kun tiedetään, millaista ainetta aika-avaruus pitää sisällään. Sen sijaan yleinen suhteellisuusteoria ei ole teoria topologiasta: se ei kerro, millainen avaruuden topologia on. Mutta koska tietyn geometrian kanssa sopivat yhteen vain tietyt topologiat, yleinen suhteellisuusteoria rajoittaa sitä, millainen topologia voi olla.

Eri topologioita voi havainnollistaa yksinkertaisimman mahdollisen, eli tasaisen, geometrian tapauksessa. Tasaisen kaksiulotteisen pinnan topologia on sellainen, missä pinta ulottuu kaikissa suunnissa äärettömiin. Jos leikkaa pinnasta suikaleen ja määrää, että yhdestä reunasta ulos mentäessä tuleekin samasta kohtaa vastakkaiselta puolelta sisään, topologia on erilainen. Samaistamalla myös toiset reunat saa donitsin. On monimutkaisempiakin topologioita. Jos toiset reunat samaistaakin siten, että kun menee sisään reunan oikealta puolelta, tulee ulos vastakkaisen reunan vasemmalta puolelta, tuloksena on Kleinin pullo (jota on havainnollistettu täällä).

Isossa mittakaavassa maailmankaikkeutta usein kuvataan approksimaatiossa, jossa avaruus on samanlainen kaikissa paikoissa ja suunnissa. (Se, miten hyvä tämä approksimaatio on, on pitkään ollut eräs keskeinen tutkimuskohteeni.) Tässä tapauksessa on suoraviivaista luetella avaruuden mahdolliset geometriat ja kartoittaa, millaiset topologiat ovat mahdollisia. Kyse on siitä, miten avaruutta voi kääriä kasaan niin, että reunat kohtaavat sileästi.

Jos avaruus on samanlainen kaikkialla, sen kaarevuus on sama joka pisteessä. Jos kaarevuus on kaikkialla nolla, niin avaruus on tasainen. Tällainen maailmankaikkeus on tasainen pinta, joka ajan edetessä laajenee, eli aika-avaruus on kuin paperipino (jos yhden ulottuvuuden jättää pois).

Jos kaarevuus on kaikkialla positiivinen, niin avaruus on kolmiulotteinen pallopinta. On syytä korostaa, että kyse ei ole pallon sisuksesta, vain pinnasta. Kolmiulotteista pallopintaa voi olla vaikea hahmottaa, mutta se on samanlainen kuin kaksiulotteinenkin. Kolmiulotteisessa tapauksessa on yksi suunta lisää, mutta sekin kaartuu kaikkialla, ilman että mikään piste tai suunta olisi erikoisasemassa. Tällöin aika-avaruus on kuin kasa sisäkkäisiä pallopintoja (jos yhden ulottuvuuden jättää taas pois).

Jos kaarevuus on kaikkialla negatiivinen, niin avaruuden muotoa on hankalampia kuvitella. Tällaisella avaruudella on samanlainen suhde satulan muotoiseen pintaan kuin positiivisesti kaareutuneella avaruudella on pallopintaan. Siinä missä pallopinnalla kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta ja yhdensuuntaiset suorat lähentyvät toisiaan, satulapinnalla kolmion kulmien summa on aina alle 180 astetta ja yhdensuuntaiset suorat etääntyvät.

Tasaisessa tapauksessa avaruudella on 18 erilaista mahdollista topologiaa. Niistä kahdeksassa avaruus on ääretön. Tylsimmän äärettömän tapauksen lisäksi, missä ei tehdä mitään, on seitsemän vaihtoehtoa, missä avaruuden eri osia on samaistettu. Lopuissa kymmenessä avaruus on kääritty äärelliseksi, joko donitsiksi tai monimutkaisemmaksi paketiksi.

Pallopinnan tapauksessa tilanne on ratkaisevalla tavalla erilainen sikäli, että avaruus on aina äärellinen. Yksinkertaisin topologia vastaa pallopintaa, monimutkaisemmissa tapauksissa on samaistettu sen eri osia. Tämän voi tehdä äärettömän monella eri tavalla, ja ne kaikki tunnetaan.

Satulapinnan tapauksessa yksinkertaisin tilanne on sama kuin tasaisessa: avaruus jatkuu äärettömiin. Sen mahdolliset käärimiset ovat kuitenkin monimutkaisempia kuin tasaisen pinnan tapauksessa. Mahdollisia topologioita tunnetaan useita, mutta kaikkia mahdollisuuksia ei ole toistaiseksi osattu luetteloida.

Kosmologiassa avaruuden topologia kutkuttavasti liittyy kysymykseen siitä, onko maailmankaikkeus ääretön vai äärellinen. Jos avaruus on äärellinen, sillä on väistämättä jokin mielenkiintoinen topologia.

Asiaa voi selvittää havainnoilla. Ajatellaan tapausta, missä avaruus on tasainen mutta äärellinen, ja sillä on donitsin topologia. Kun lähettää matkaan valonsäteen, niin se kiertää avaruuden ympäri ja palaa jonkun ajan kuluttua takaisin vastakkaisesta suunnasta. Kosmologiset mittakaavat ovat liian isoja tällaisten kokeiden tekemiseen, mutta kaukaisten kohteiden tarkastelu ajaa saman asian. Kun galaksi lähettää valoa, meidän pitäisi donitsin tapauksessa nähdä sen kuva eri puolilla taivasta.

Käytännössä tällaisten havaintojen tekeminen on yksittäisen galaksin kohdalla vaikeaa, koska siitä tuleva valo on matkannut eri matkan eri suuntiin. Niinpä voisimme esimerkiksi nähdä galaksin yhdessä suunnassa sellaisena kuin se oli miljardi vuotta sitten ja toisessa sellaisena kuin se oli sata miljoonaa vuotta sitten. Koska galaksit kehittyvät, näitä voi olla vaikea tunnistaa samaksi kappaleeksi.

Lisäksi jos avaruuden topologia on donitsia monimutkaisempi, valo ei välttämättä palaa suoraan samaan pisteeseen, vaan voi kiertyä eri tavoilla. Tämä vaikeuttaa kuvien tunnistamista entisestään. (Oman hankaluutensa tuo myös se se, että maailmankaikkeus ei todellisuudessa ole täysin tasainen, eivätkä täysin tasaisten avaruuksien ja melkein tasaisten avaruuksien mahdolliset topologiat välttämättä ole samanlaisia.)

Tämän takia topologiaa ei käytännössä mitata tarkastelemalla yksittäisiä galakseja tai muita kappaleita, vaan syynäämällä taivaalla näkyvän valon tilastollista jakaumaa. Tarkin tutkailu tehdään galaksien sijaan kosmisen mikroaaltotaustan avulla.

Kosminen mikroaaltotausta on valoa, joka irtosi aineesta maailmankaikkeuden ollessa 380 000 vuotta vanha. Tämä tapahtui kaikkialla avaruudessa lähes yhtä aikaa, ja nyt kosminen mikroaaltotausta on pallopinta ympärillämme. Jos maailmankaikkeus on tarpeeksi pieni, kosmisen mikroaaltotaustan valo on ehtinyt matkata sen ympäri ja kohdannut itsensä. Asiaa voi havainnollista ajattelemalla, mahtuuko kosmisen mikroaaltotaustan pallo avaruuteen. Jos pallo menee avaruuden reunoista yli, se risteää itsensä kanssa, ja risteyskohdissa näkyy renkaita. Mitä pienempi avaruus on, sitä useammin mikroaaltotausta on ristennyt itsensä kanssa, ja sitä pienempiä ja enemmän renkaita siinä on.

Risteyskohtien tarkka muoto riippuu siitä, millainen avaruuden topologia tarkalleen on. Tällaisia taivaalla hohtavia renkaita ja monimutkaisempia jälkiä on etsitty, eikä mitään ole näkynyt. Koska kosmisen mikroaaltotaustan pallon säde on noin 50 miljardia valovuotta, voidaan päätellä, että jos maailmankaikkeus on äärellinen, sen koko on tätä isompi.

Havainnoissa ei siis ole mitään tukea sille, että maailmankaikkeus olisi äärellinen. Teoreettisesti aika-avaruutta ei vielä ymmärretä tarpeeksi hyvin, että osattaisiin sanoa, olisiko se äärellinen vai ääretön. Yleinen suhteellisuusteoria ei määrää topologiaa, mutta jotkut muut teoriat saattavat niin tehdä. Säieteorian joissain muotoiluissa on olemassa ylimääräisiä paikkaulottuvuuksia havaittujen kolmen lisäksi, ja ne ovat yleensä äärellisiä (ja hyvin pieniä). Jos näin on, tuntuisi luontevalta, että myös havaitut kolme ulottuvuutta ovat äärellisiä, vain paljon isompia. Säieteoria ei kuitenkaan kerro, että näin pitäisi olla, eikä edes tiedetä kuvaako säieteoria todellisuutta.

Vaikka maailmankaikkeus olisi äärellinen, kosmisen inflaation mukaan näemme luultavasti vain pienen osan siitä. Tässä tapauksessa topologian jäljet ovat heikkoja. Kääntäen voi sanoa, että jos näkisimme merkkejä avaruuden topologiasta, niillä voisi olla mullistava vaikutus käsitykseemme maailmankaikkeudesta.

Päivitys (17/04/18): Korjattu kolmien kulmien summa satulapinnalla.

15 kommenttia “Muotoja ilman mittanauhaa”

  1. Eusa kirjoitti:

    ”satulapinnalla kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta ja yhdensuuntaiset suorat etääntyvät.”

    Typo: summa on aina alle 180 astetta.

    Hyvin ja mielenkiintoisesti kuvailit aihetta.

    Mitä mieltä olet ajatuksesta, että meillä on vihjeitä (mm. metrinen kvantittuminen, mutta ajan kvantti on kiistanalainen), että kaikkeus olisi avaruudellisesti äärellinen, mutta ajallisesti ääretön? Siis minkään kappaleen koko (määriteltäköön kappale kuinka vain) ei voisi olla rajoittamattoman kokoinen, mutta voisi olla kappaleita, joiden ikä lähenee rajatta ääretöntä? Tämä dilemma on analogisesti sama kuin se voisimmeko nähdä samoista galakseista useita inkarnaatioita – jos massa/aika voi kaareuttaa aikaa etäisen havaitsijan koordinaateissa loputtomiin, voi olla asymptoottisesti ääretöntä ikää kuluttavia reittejä, mutta reitit ylläpidetään äärellisellä määrällä alkeishiukkasia. Tämä liittyy siihen topologian kahvallisuuteen ja kahvojen lukumäärään. Mustat aukot ja niiden topologia unohdettakoon kuitenkin tässä yhteydessä.

    Toisaalta mikä tahansa entiteetin aika olisi ylinumeroituva eli antaisi jatkuvalle geometrialle tilaisuuden – puolestaan lomittuneet ainerakenteet saattaisivat perustua etäisyyden diskreettiin pariteettiin perustuviin vuorovaikutuksiin.

    Ajatukseen kuuluu äärellisen hiukkaskahvaisuuden vuorovaikutuslogiikka niin, että luontomonisto tarvittaessa kohdaltaan kaareutuu/ikääntyy niin kovin, ettei mikään vuorovaikutusetäisyys voisi yltää kaikkeuden ympäri, ehkei edes sen puolivälimitan yli. Noin omega pakottautuisi tasan nollaan ja kaikkeuden topologia tasan laakeaksi. Kaksiulotteisista topologioista tosiaan torus ja Kleinin pullo ovat laakeita ilman kuspeja – kvanttilomittusen perusteella on esitetty arveluja, että 3-/4-d-kokonaistopologia voisi noudattaa mieluummin Kleinin pullon kuin toruksen topologista morfismia…

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Kiitos korjauksesta.

      Ken tietää. Kysymys ajan ja avaruuden äärellisyydestä tai äärettömyydestä on täysin avoin.

  2. Cargo kirjoitti:

    Mielenkiintoinen postaus. Tuli mieleen, että vaikka suhteellisuusteoria ei paljasta topologiaa, niin eikö luonnonlakien suhteellisuusperiaatetta voisi tässä kohtaa soveltaa ja vaatia kaarevuuden olevan kaikkialla samanlaista tyhjässä avaruudessa? Pallopinta lienee ainoa monisto, joka vääntyy jokaisen pisteen ympärillä samalla tavalla joka suuntaan. Kun lisätään massaa, niin kaarevuus muuttuu lokaalisti.

    Toisekseen: maailmankaikkeus voi olla ”ääretön”, jos avaruuden laajeneminen ymmärretään neliulotteisen pallon laajenemisena, kun säteen kasvunopeus on riittävän suuri. Eli maailmankaikkeus olisi topologisesti rajoitettu, mutta kolmiulotteisen pinnan laajenemisen vuoksi yksikään valonsäde ei pysty kiertämään koko pallopintaa ja palaamaan takaisin lähtöpisteeseenä.

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Kuten tekstissä kirjoitan, on kolme avaruutta, joiden kaarevuus on vakio: tasainen, pallopinta ja satulapinta.

      Suhteellisuusperiaatteella ei ole avaruuden vakiokaarevuuden kanssa mitään tekemistä.

  3. Mika kirjoitti:

    Kiitos taas erittäin mielenkiintoisesta kirjoituksesta!

    Pitäisikö satulapinnan kohdalla lukea että kolmion kulmien summa on alle 180?

    Onko sinulla itselläsi suosikkitopologiaa tai veikkausta siitä, onko aika-avaruus äärellinen vai ääretön?

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Pitäisi, kiitos.

      Ei varsinaisesti. Asia määräytynee fysiikasta, joka on tuntemamme fysiikan ulkopuolella, eikä siitä ole tarpeeksi vihjeitä. Äärellinen avaruus olisi kenties miellyttävämpi.

  4. PekkaP kirjoitti:

    Ilmeisen tyhmä kysymys maallikolta.
    Jos maailmankaikkeuden ikä on n. 14 miljardia vuotta, miten maailmankaikkeus olisi voinut rajallisen kokoisesta alusta kasvaa rajallisessa ajassa äärettömäksi? Kysymys on vaivannut minua vuosia.
    Ymmärrän sen verran, ettei valonnopeus rajanopeutena koske avaruuden laajenemista, mutta Ojalan laskuopin hätäisesti sisäistäneenä näen tuossa jonkinmoisen ristiriidan.

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Yleisen suhteellisuusteorian mukaan jos maailmankaikkeus on nyt ääretön, se on aina ollut ääretön.

      Yleinen suhteellisuusteoria ei tosin päde lähellä alkua, joten emme tiedä mitä varhaisina hetkinä on tapahtunut.

  5. Alarik kirjoitti:

    Kiitos ymmärrykseni kasvattamisesta näillä aika-avaruuden geometriaa ja topologiaa käsittelevillä merkinnöilläsi. Tinkimättömät ja kumartelemattomat kirjoituksesi tarjoavat lähes poikkeuksetta päänvaivaa ja ihmeen sekä kauneuden tuntua – silloinkin, kun tunnen vain kevyen ilmavirran hilseeni tietämillä.

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Kiitos, mukava kuulla.

  6. Cargo kirjoitti:

    Onko seuraava mielikuva avaruudesta neliulotteisen pallon pintana oikea, jos avaruus on tyhjä: mihin tahansa suuntaan lähetetty fotoni palaa lähtöpisteeseen vastakkaisesta suunnasta ja suunnasta riippumattomassa ajassa.

    Jos asiaa aprikoi vielä lisää, niin voisiko kosminen taustasäteily olla tuollaista neliulotteisen pallopinnan kiertänyttä säteilyä? Kun aallonpituuden jakauma on taustasäteilyssä tasainen, niin voisi olettaa, että säteet ovat kulkeneet saman matkan/ajan laajenevassa ja tasaisesti massaa sisältävässä avaruudessa.

    1. Syksy Räsänen kirjoitti:

      Avaruuden topologiaa ei tunneta. Jos avaruuden topologia on pallopinta, se ei ole neliulotteisen pallon pinta, vaan kolmiulotteinen pallopinta.

      Erosta, ks. https://www.ursa.fi/blogi/kosmokseen-kirjoitettua/suoraviivaista/

      Mutta mielikuvasi on oikea.

      Kosmisen taustasäteilyn alkuperällä ei ole mitään tekemistä avaruuden topologian kanssa (vaikka topologia saattaakin jättää siihen jälkiä).

      1. Cargo kirjoitti:

        Olisiko se täysin mahdotonta, että kaikki muu säiteity on inteferoitunut olemattomiin paitsi poispäin lähtenyt säteily, joka palaa kosmisena taustasäteilynä?

        1. Syksy Räsänen kirjoitti:

          Kosmisen taustasäteilyn alkuperä tunnetaan hyvin, eikä tuolla ole mitään tekemistä sen kanssa.

          Ks. http://www.tiede.fi/blogit/maailmankaikkeutta_etsimassa/ylos_tulenpyorteessa

          Tämä riittäköön tästä.

          1. Cargo kirjoitti:

            Tämä riittäköön tästä, mutta itse täytän vielä topallisen ja pössyttelen piippua nojatuolissa…

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *