Suoraviivaista

31.3.2018 klo 22.37, kirjoittaja
Kategoriat: Kosmokseen kirjoitettua , Kosmologia

Olen usein maininnut, että yleisen suhteellisuusteorian mukaan gravitaatio on aika-avaruuden kaarevuuden ilmentymä. Yritän nyt hieman avata sitä, mitä tämä tarkoittaa.

On helpointa aloittaa aika-avaruuden sijaan avaruudesta. Kerrotaan ensin, millainen on avaruus, joka ei ole kaareva. Se onkin helposti sanottu. Ajatellaan kaksiulotteista avaruutta. Otetaan kaksi pistettä, joiden etäisyys yhdessä suunnassa on x ja sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa y. Jos pisteiden kokonaisetäisyyden neliö on Pythagoraan lauseen mukainen L^2 = x^2 + y^2, niin avaruus on laakea, mikä on kaarevan vastakohta. Toinen sana laakealle on euklidinen, geometrian aksioomista tunnetun Eukleideen mukaan. Kaksiulotteinen laakea avaruus on suora taso, kuin pöydän pinta tai taittumaton paperi.

Yksinkertainen esimerkki kaarevasta eli epäeuklidisesta avaruudesta on kaksiulotteinen pallopinta. Kuten suora taso, pallopinta on samanlainen kaikissa suunnissa ja kaikissa paikoissa, mutta toisin kuin taso, se on kaareva. Pallopinnan kaarevuus tuntuu ilmeiseltä, koska olemme tottuneet tarkastelemaan sitä kolmiulotteisessa avaruudessa: pallopinnalle vedetyt viivat eivät mene suoraan kolmiulotteisessa avaruudessa, vaan kaartuvat.

Asian kanssa pitää kuitenkin olla vähän huolellisempi. Esimerkiksi sileä donitsipinta vaikuttaisi saman päättelyn mukaan kaarevalta, mutta se on itse asiassa laakea. Donitsipinta vain näyttää kaarevalta, koska tapa, jolla se on upotettu kolmiulotteiseen avaruuteen, on kaareva. Tällainen on ulkoista kaarevuutta, joka liittyy avaruuden suhteeseen johonkin korkeampiulotteiseen avaruuteen. Pallopinnan kohdalla on sen sijaan kyse sisäisestä kaarevuudesta, joka liittyy avaruuden itsensä ominaisuuksiin.

Avaruus on sisäisesti kaareva, jos sen kaarevuuden saa selville siinä tehtyjen mittausten avulla. Jos kaarevuuden toteamiseksi pitää tarkastella avaruuden suhdetta isompaan kokonaisuuteen, kyse on ulkoisesta kaarevuudesta.

On helppo hahmottaa, miksi donitsipinta on laakea. Sen voi nimittäin rakentaa laakeasta tasosta kolmella askeleella. Ensin leikataan tasosta neliö. Sitten samaistetaan neliön kaksi vastakkaista sivua, siten että kun menee yhdestä niistä ulos, niin tulee vastapäätä takaisin sisään. Näin saadaan sylinteripinta. Kun vielä samaistetaan jäljelle jääneet kaksi sivua, eli sylinterin päät, niin tuloksena on donitsi. Sellaisen havaitsijan kannalta, joka elää donitsin pinnalla ja pystyy tekemään havaintoja vain siellä, se on vain pala tasoa, vaikka sillä onkin se erikoisuus, että suoraan kulkiessa palaa jonkun ajan kuluttua samaan pisteeseen.

Donitsipinnalla etäisyydet noudattavat Pythagoraan lausetta L^2 = x^2 + y^2. Samoin donitsipinnalla, kuten muissakin euklidisissa avaruuksissa, kolmion kulmien summa on 180 astetta, eivätkä yhdensuuntaiset viivat koskaan risteä. Pallopinnalla on toisin.

Pallopinnalla suorat viivat ovat isoympyröitä, sellaisia kuin päiväntasaaja. Jos kaksi suoraa viivaa ovat molemmat kohtisuorassa päiväntasaajaan, eli ovat toistensa kanssa yhdensuuntaisia päiväntasaajalla, ne risteävät pohjoisnavalla. Vastaavasti pallon pinnalle piirretyn kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Pallopinnalla voi suoraviivaisesti selvittää, miten avaruus on kaareutunut vetämällä viivoja ja katsomalla, miten ne lähestyvät toisiaan sekä piirtelemällä kolmioita.

Jos pallopinta ei ole samanlainen kaikkialla, vaan siinä on kupruja siellä täällä, niin senkin saa selville samalla tavalla, mittaamalla suoria viivoja kaikissa eri kohdissa. Jos yhdensuuntaiset viivat lähestyvät toisiaan, avaruuden kaarevuus on positiivinen. Jos ne etääntyvät, kaarevuus on negatiivinen. Siitä, miten nopeasti etäisyys muuttuu, voi päätellä kaarevuuden suuruuden. Merkitsemällä muistiin viivojen kulun (tai pisteiden etäisyydet) joka paikassa saa kartoitettua aika-avaruuden kaarevuuden kaikkialla.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa aika-avaruuden kaarevuus on sisäistä kaarevuutta, ei ole mitään isompaa kokonaisuutta, mihin aika-avaruus olisi upotettu. Eroja kaksiulotteisen avaruuden esimerkkiin on kaksi. Ensinnäkin ulottuvuuksia onkin neljä, joten kaarevuuden hahmottaminen on hankalampaa. Toisekseen yksi ulottuvuuksista on aikaulottuvuus, ei paikkaulottuvuus.

Gravitaatiossa on kyse siitä, että aine aiheuttaa aika-avaruuden kaarevuutta. Esimerkiksi Aurinko ei vedä kappaleita puoleensa voimalla, vaan Auringon massa muuttaa aika- ja paikkavälejä. Yleisen suhteellisuusteorian mukaan kappaleet kulkevat suoria viivoja pitkin kaarevassa aika-avaruudessa. (Muut vuorovaikutukset kuin gravitaatio puskevat kappaleita pois suorilta viivoilta.)

Koska Auringon aiheuttama aika-avaruuden kaarevuus on pieni, sen vaikutusta Maapallon rataan voi tarkastella kuvittelemalla aika-avaruuden laakeaksi ja ajattelemalla Auringon sen sijaan muuttavan Maapallon reittiä piirun verran suorasta kaarevaksi. (Siitä, miten Maapallon rata ei ole ympyrä vaan suora, tarkemmin täällä ja täällä.)

Tällainen näkökulman vaihtaminen aika-avaruuden ja ratojen kaarevuuden välillä on mahdollista vain silloin kun kaarevuus on pieni. Yksi esimerkki, jossa kaarevuutta ei voi käsitellä pienenä muutoksena laakean avaruuden ratoihin, on musta aukko. Tässä äärimmäisessä tapauksessa aika-avaruus on kaartunut niin voimakkaasti, että ei ole ajassa eteenpäin meneviä suoria viivoja mustan aukon sisältä ulos. Kyse ei siis ole siitä, että musta aukko vetäisi kappaleita niin vahvasti puoleensa, että ne eivät pääse nousemaan pois, vaan siitä, että ei ole mitään reittiä ylös.

Koska aika-avaruuden kaarevuus liittyy sekä aika- että paikkaväleihin, kappaleiden massa ei ainoastaan muuta niiden lähellä olevien kappaleiden liikkeitä, se myös vaikuttaa ajan kulkuun. Vaikutusta liikkeisiin voi karkeasti kuvata vetovoimana, jonka kappaleet muka kohdistavat toisiinsa. Vasta tarkastelu aika-avaruuden kaarevuuden kautta kuitenkin näyttää sen, että liikkeiden muutoksiin liittyy ero kellojen käynnissä.

Esimerkiksi Maapallon massan takia aikavälit ovat pidempiä, eli kellot käyvät hitaammin, lähempänä maanpintaa. Vaikutus on pieni, Maan aiheuttaman kaarevuuden takia maanpinnalla oleva kello jätättää 60 mikrosekuntia päivässä. Tämä varmennettiin ensimmäisen kerran kokeellisesti vuonna 1971. Nykyteknologialle mikrosekunnit ovat merkittäviä: GPS-järjestelmän satelliitit ovat niin korkealla, että niiden kellot jätättävät vain 15 mikrosekuntia, ja taivaallisten ja maanpäällisten kellojen 45 mikrosekunnin erosta syntyy iso virhe paikannukseen, jos sitä ei korjata.

Gravitaation ymmärtämisenä aika-avaruuden kaarevuutena ei ole GPS-satelliittien lisäksi mitään muuta sovellusta. Gravitaation käsittäminen geometrian avulla on kuitenkin eräs fysiikan kauneimpia oivalluksia. Se on myös avain maailmankaikkeuden laajenemisen, mustien aukkojen ja gravitaatioaaltojen synnyn ymmärtämiseen, ja mahdollisesti myös gravitaation ja kvanttifysiikan yhdistämiseen ja kaiken teorian löytämiseen.

Päivitys (05/04/2018): Korjattu 45 sekuntia mikrosekunneiksi.

14 kommenttia “Suoraviivaista”

  1. Eusa sanoo:

    Onko tutkittu sitä kuinka fysikaalisesti madonreikätyyppisen mustan aukon kahva avaruusajan topologiaan voi syntyä? Eikö pitäisi ajatella, että kahvoja on jo valmiiksi paljon (alkeishiukkaset) ja jotenkin ne yhtyisivät kasvattaen isomman kahvan ja hävittäen rakenneinformaatiota? Tuollaiseen ajatukseenko on liitetty hiukkasten lomittuminen madonreikäanalogiana (ER=EPR)?

    En ihmettele, jos herää epäluulo vakavan tieteenteon ja matemaattisen satuilun sekoittumisesta näitä selvitellessä…

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      Aika-avaruuden kaarevuus liittyy siihen, miten etäisyydet käyttäytyvät, eli geometriaan.

      Aika-avaruuden muodon ne piirteet, jotka eivät liity etäisyyksiin (kuten se, että donitsipinnalla palaa alkuun jos kulkee suoraa viivaa) eivät ole geometrisia, vaan topologisia. Kaarevuus ei määrää niitä.

      Ei tästä sen enempää.

  2. Mika sanoo:

    Jos jätetään kysymys mustien aukkojen kahvoista huomiotta, niin liittyykö aika-avaruuden topologiaan mitään mielenkiintoista, josta voisi olla blogin aiheeksi tulevaisuudessa?

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      Nyt kun kysyit, on kyllä! Palaankin tähän aiheeseen tulevaisuudessa.

  3. Tapani Pöykkö sanoo:

    45 sekunttia po. 4 5millisekunttia. maata kaada, koska asia on selviää, mutta jos ollaan tarkkoja…

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      Kiitos, korjasin.

  4. Klaus Kauko sanoo:

    Kirjoititte, että ”donitsipinnan”, eli matemaattista termiä käyttääkseni toruksen, sisäinen kaarevuus on nolla eli että se on laakea.
    Onko todella niin?
    Lieriöpinnan laita todella on niin. Siksi paperiarkki onkin helppo kiertää lieriöksi ilman, että se repeää tai rypistyy, eivätkä siihen mahdollisesti piirrettyjen kuvioiden mittasuhteetkaan muutu. Mutta toruksen laita on jo toisin. Ei paperileriön molempia päitä voida teipata yhteen ilman, että paperi rypistyy tai jopa repeää. (Ja jos paperi alun perin oli neliön muotoinen, sen vääntäminen torukseksi ei ole lainkaan mahdollista. Jos se oli pitkä ja kapea suorakulmainen suikale, asia on jo toisin.)
    On kyllä matemaattisesti, abstraktina metrisenä tai topologisena avaruutena, mahdollista määritellä sellainenkin toruspinta, joka todella on laakea. Se saadaan esimerkiksi ekvivalenssirelaatiolla samastamalla keskenään ne tason pisteet, joiden sekä x- että y-koordinaattien erotukset ovat kokonaislukuja, tai vaikkapa vain samastamalla neliön vastakkaiset sivut. Eri asia on, voidaanko sellaista konkreettisesti toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa. Tuollainen abstraktisti määritelty torus lienee kyllä topologisesti yhtäläinen todellisen donitsin pinnan kanssa, mutta mittasuhteiltaan ne poikkeavat toisistaan. Niin siinäkin tapauksessa, että donitsin poikkileikkaus olisi kaikkialla ympyrä eikä siinä olisi epätasaisuuksia. Silloinkaan se ei käsittääkseni ole laakea, mikä ilmenee jo siitä, että kierros ”reiän” ympäri on reiän puolella pienempi kuin ulkoreunalla.

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      On.

      1. Klaus Kauko sanoo:

        Eipäs olekaan, tai on sittenkin, riippuen siitä, minkälaista toruspintaa tarkastellaan.

        Konkreettisesti toteutettavissa olevalla ”donitsipinnalla” todella on sisäinen kaarevuus, eli se ei ole laakea.
        Sillä on parametriesitys:
        x = (c + a cos v) cos u
        y = (c + a cos v) sin u
        z = a sin v

        missä c on ”donitsin” sisällä olevan pyöreän ”akselin” etäisyys keskellä olevan ”reiän ” keskipisteestä, ja a tämän ”donitsin” halkaisevan ympyrän säde, eli puolet sen paksuudesta. Parametrit u ja v ovat välillä [0, 2pi) siten, että u kasvaa 0:sta arvoon 2pi kierrettäessä ”donitsin keskellä” olevan reiän ympäri, ja v taas kierrettäessä poikittain ”donitsin” osan ympäri. Pinnalla on myös yhtälö

        Ainakin Wolfram MathWordissa (http://mathworld.wolfram.com/Torus.html) sanotaan, että sillä on Gaussin kaarevuus
        K = cos v / a (c + a cos v))

        Koska a < c, tämän kaavan nimittäjä on aina positiivinen, mutta osoittajan ja sen mukaisesti koko lausekkeen etumerkki vaihtuu sen mukaan, onko v positiivinen vai negatiivinen. Se on positiivinen lähellä "donitsin ulkolaitaa" ja negatiivinen sen keskellä olevan reiän puolella. Tämä vaikuttaa intuitiivisestikin luonnolliselta: ulkopuolella pinta on joka suuntaan kupera samaan tapaan kuin pallon pinta, mutta sisäpuolella (reiän puolella) se on reikää kiertävässä suunnassa kovera, sitä vastaan kohtisuorassa suunnassa kupera, samaan tapaan kuin satulapintakin (jolla myös on negatiivinen kaarevuus) on (samaltakin puolelta katsottuna) yhteen suuntaan kupera, toiseen suuntaan kovera.

        Edellä mainitun kaltainen torus voidaan todella toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa, ja tavallisen donitsin pinta on muodoltaan lähellä sitä, mihin käyttämänne nimitys "donitsipinta" viittaa. Eri asia on se abstraktimpi, matemaattisella konstruktiolla, ekvivalenssirelaatiolla määritelty torus, joka ilmeisesti ennen kaikkea oli mielessänne ja joka kolumnissa käsittelemältänne kannalta kieltämättä onkin mielenkiintoisempi. Myönnän: sen sisäinen kaarevuus todella on nolla. Se on kuitenkin jo selvästi abstraktimpi konstruktio, eikä sellaista voida todellisuudessa valmistaa (tai matemaattisemmin sanottuna: sitä ei voida upottaa kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen). Topologisesti se kuitenkin on yhtäläinen edellä kuvaamani "tavallisen" donitsin kanssa.

        Mutta mikäli on olemassa matemaattinen menetelmä, jolla pinnan karteesisissa koordinaateissa ilmoitetusta yhtälöstä voidaan johtaa sen Gaussin kaarevuus, sitä ei voida kuvaamallanne tavalla muodostettuun torukseen lainkaan soveltaa, sillä kun sellaista ei kolmiulotteisessa avaruudessa ole, sille ei voida muodostaa yhtälöäkään karteesisissa koordinaateissa.

        Tämä menee ehkä useimmilta lukijoilta jo yli ymmärryksen, mutta tuskin sentään Syksy Räsäseltä.

        1. Syksy Räsänen sanoo:

          Totta, tässä on sellainen yksityiskohta, että neliön sivuja samaistamalla saatua tasaista donitsipintaa ei voi upottaa säännöllisesti kolmiulotteiseen avaruuteen, tarvitaan neliulotteinen avaruus.

          Tältä osin merkintä on tosiaan epätarkka.

        2. Eusa sanoo:

          Funktioidaan v:lle f(v) niin, että sille pätee f’ = c/a+cos(f). Tuolla ehdolla upotettu torus on paikallisesti konformaali eli se on 2-ulotteinen konformaali kartta.

          Voimme kokeilla kuinka tuo voisi olla globaalisti laakea. Päädyn tulokseen, jossa c ja a olisivat suhteessa sqr(1+w²), jossa w olisi jokin positiivinen kokonaisluku syystä, että kosini on periodinen…

          Ok, huomaamme joka tapauksessa, että säännöllisesti hallittava laakeus upotetulle torukselle edellyttää upotusvapausasteen lisäksi vielä yhtä vähintäänkin numeroituvaa vapausastetta eli yhteensä 4, mikä vastaa tosiaan 4-ulotteisuutta.

          Toruksesta Kleinin puollon monistoon ja mitä sillä voitaisiin saavuttaa, löysin erään tuoreen tutkielman: https://arxiv.org/pdf/1707.05812.pdf.

  5. Ola sanoo:

    Perustuuko sitten (nykykäsityksen mukaan) myös pimeän energian antigravitaatio jollain tapaa aika-avaruuden kaarevuuteen?

    1. Syksy Räsänen sanoo:

      Aine, mukaan lukien pimeä energia (jos sitä on olemassa), vaikuttaa aika-avaruuden kaarevuuteen. Avaruuden laajeneminen on yksi aika-avaruuden kaarevuuden ilmentymä.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista. Pakolliset kentät on merkitty *